本篇介紹如何用python nltk 的應用,邏輯語意與lambda calculus

1.introduction

邏輯語意學在語意推導方面,通常會用到 $\lambda -calculus$

使用$\lambda -calculus$就可以把一個句子的語意,從個別單字中推導出來

至於$\lambda -calculus$ 是什麼呢？

簡而言之,lambda calculus是一種數學運算,由以下三種元素組成

$(a)$ 是 $variable$

$(b)$ 是 $astraction$ ,就是把function中的variable拿到前面,加個 $\lambda$

$(c)$ 是將另一個 $variable$ 放到 $astraction$ 後面

然後可以進行一種運算,叫做 $\beta-reduction$ ,如下

還有另一種運算叫做 $\alpha-conversion$ ,其實就是更改變數名稱而已

$\lambda -calculus$ 也是計算理論的一種,和Turing Machine等價

實際上以 $\lambda -calculus$ 實現的程式語言有Functional Programming,例如Lisp或Haskell

2. lambda expression

接著來實作untyped lambda calculus,

首先,載入模組 nltk.sem.logic 和 LogicParser

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>>> import nltk.sem.logic as logic
>>> lgp = logic.LogicParser()

再看看 $\lambda$ 要用哪個符號

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>>> logic.binding_ops()
existential    	exists
universal      	all
lambda         	\

要表示lambda $\lambda$ 符號,要用 \ 字串

然後,用LogicParser來輸入這個式子：$e1=\lambda x.P(x)$

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>>> e1 = lgp.parse(r'\x.P(x)')
>>> print e1
\x.P(x)

3. alpha conversion

再來試試看$\alpha-conversion$ : $\exists x.P(x) \Rightarrow \exists z.P(z)$

從以下結果得知,$\alpha-conversion$ 轉換前和轉換後,在邏輯上是相等

因為只是更改變數名稱而已

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>>> e2 = e1.alpha_convert(logic.Variable('z'))
>>> print e2
\z.P(z)

>>> e1 == e2
True

4. beta reduction

接著,來看看 $\beta-reduction$

舉一個自然語言的例子,例如 Gary walks. 這個句子,用邏輯語意可以表示成

根據Principle of Compositionality,

句子的語意是由單字的語意所組成的(但實際上還是有例外,例如片語)

推導出這個句子的語意,可由單字的語意推導出來,

walks 的語意是 $\lambda x.walk(x)$

Gary 的語意是 $Gary$

則 Gary walks 的語意是

接著來實作看看

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>>> e3 = lgp.parse(r'\x.walks(x)(Gary)')
>>> e4 = e3.simplify()
>>> print e4
walks(Gary)

再舉一個例子,例如 Gary sees Mary. 這個句子, sees 是及物動詞

及物動詞,是表示一個主詞和受詞的關係,

可用 First Order Logic 的 Relation 來表示

sees 的語意為 $\lambda x \lambda y .see(x,y)$

而 Gary sees Mary. 的語意是

接著,輸入nltk看看

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>>> e5 = lgp.parse(r'\x \y.see(x,y)(Gary)(Mary)')
>>> print e5
((\x y.see(x,y))(Gary))(Mary)

>>> print e5.simplify()
see(Gary,Mary)

還有其他的輸入方式,結果都一樣

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>>> e6 = lgp.parse(r'\x \y.see(x,y)(Gary,Mary)')
>>> e7 = lgp.parse(r'\x y.see(x,y)(Gary,Mary)')
>>> e8 = lgp.parse(r'\x y.see(x,y)(Gary)(Mary)')
>>> e9 = lgp.parse(r'(\x y.see(x,y)(Gary))(Mary)')

結果如下：

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>>> print e6
((\x y.see(x,y))(Gary))(Mary)

>>> print e7
((\x y.see(x,y))(Gary))(Mary)

>>> print e8
((\x y.see(x,y))(Gary))(Mary)

>>> print e9
((\x y.see(x,y))(Gary))(Mary)

>>> e6 == e7 == e8 == e5
True

5.further reading

想要瞭解 $\lambda -calculus$, 請參考http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus

想要看看 nltk 裡面的 $\lambda -calculus$ , 請至http://www.nltk.org/howto/logic.html

還有關於邏輯語意的研究,可以參考這本書 Blackburn & Bos’ Representation and Inference for Natural Language