1.Introduction

所謂的形式語義學( Formal Semantics ), 是在研究, 如何把自然語言用邏輯形式來表達

例如以下句子

$$\begin{align} &\text{John buttered the toast.} &(1.a) \end{align}$$

傳統上, 用一皆邏輯 First Order Logic 可以把這個句子表示成這樣

$$\begin{align} &butter(John,toast) &(1.b) \end{align}$$

其中, butter 這個邏輯式的predicate, 而 John 和 toast 分別是argument, 這個邏輯式表示了 John 和 toast 的關係,

當這句話為真的時候,

$$butter(John,toast) \equiv True$$

如果現在句子是這樣, 有個介繫詞片語修飾, 例如：

$$\begin{align} &\text{John butterd the toast with the knife} &(2.a) \end{align}$$

則可以把 $(1.b)$ 的一階邏輯式,再加入一個論元 (argument) 擴充成這樣

$$\begin{align} &butter(John,toast,knife) &(2.b) \end{align}$$

但這方法有個缺點, 就是無法推論 $(2.b)$ 這個邏輯式是否蘊含 $(1.b)$

$$butter(John,toast,knife) \nrightarrow butter(John,toast)$$

而事實上, $(2.a)$ 這句話蘊含 $(1.a)$ , 是成立的

$$\text{John butterd the toast with the knife} \rightarrow \text{John buttered the toast.}$$

照理說, 邏輯式要可以表達這些自然語言中的蘊含關係

因此就要想出一個邏輯表達方法, 也可以讓這些蘊含推論成立

2.Davidsonian event semantics

Davidson 在 1969 年提出了 event 的概念

what adverbial clauses modify is not verbs but the events that certain verbs introduce. Davidson (1969/1980: 167)

意思就是, 修飾動詞的修飾語, 其實是在修飾這個動詞引出的事件

例如, 針對句子 $(1.a)$ , 可以把動詞 butter 引出的事件定為 $e$ , 並加到 $(1.b)$ 中 butter的argument,如下：

$$\begin{align} &\exists e (butter(John,toast,e)) &(1.c) \end{align}$$

其中, 式子前面的 $\exists e$ 表示, 當這個式子成立的時候, 存在 $e$ 這樣一個事件

然後, 句子 $(2.a)$ 的邏輯式也可以用 event 的概念擴充, 可以把修飾語 with a knife 替換成 $instr(e,knife)$, 表示執行這個 event 的 instrument 為 knife , 如下：

$$\begin{align} &\exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife)) &(2.c) \end{align}$$

來檢查一下邏輯式 $(2.c)$ 是否蘊含 $(1.c)$

$$\exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife)) \rightarrow \exists e (butter(John,toast,e))$$

以上蘊含成立

除此之外, 一個動詞可能同時被很多個介繫詞片與修飾, 例如以下句子

$$\begin{align} \text{John buttered the toast in the bathroom with the knife at midnight} &(3.a) \end{align}$$

$(3.a)$ 不但蘊含 $(2.a)$ 也蘊含 $(1.a)$

$$\begin{align} &\text{John buttered the toast in the bathroom with the knife at midnight} &(3.a) \\ &\rightarrow \text{John butterd the toast with the knife} &(2.a) \\ &\rightarrow \text{John buttered the toast.} &(1.a) \\ \end{align}$$

這種句子如果用沒有引入 event 的概念, 用 $(2.b)$ 的傳統邏輯式子, 問題就更大了

$$\begin{align} &butter(John,toast,knife,bathroom,midnight) &(3.b) \end{align}$$

這樣的話, 我們就要定義 butter 可以接收很多個argument, 且要定好哪個位置是填給哪一種修飾語用的, 當然, $(3.b)$ 蘊含 $(2.b)$ 的推論也不成立

用 event 的概念就簡單很多了, 不用修改到 butter 的argument, 只要把修飾語轉換成修飾 $e$ 的predicate, 並和 butter 做conjunction, 就可以了, 如下

$$\begin{align} &\exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife) \wedge in(e,bathroom) \wedge at(e,midnight) ) &(3.c) \end{align}$$

而且 $(3.c)$ 蘊含 $(2.c)$ 也蘊含 $(1.c)$

$$\begin{align} &\exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife) \wedge in(e,bathroom) \wedge at(e,midnight) ) &(3.c) \\ &\rightarrow \exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife)) &(2.c) \\ &\rightarrow \exists e (butter(John,toast,e)) &(1.c) \\ \end{align}$$

3.Implementation

來載入模組, 實作看看

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>>> import nltk.sem.logic as logic >>> from nltk import Prover9 >>> lgp = logic.LogicParser()

用前面提到的句子和邏輯式子來做練習

$$\begin{align} &\text{John buttered the toast.} &(1.a) \\ &\text{John butterd the toast with the knife} &(2.a) \\ &\text{John buttered the toast in the bathroom with the knife at midnight} &(3.a) \\ \\ & \exists e (butter(John,toast,e)) &(1.c) \\ & \exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife)) &(2.c) \\ &\exists e (butter(John,toast,e)\wedge instr(e,knife) \wedge in(e,bathroom) \wedge at(e,midnight) ) &(3.c) \\ \end{align}$$

把 $(1.a)$ , $(2.a)$ , $(3.a)$ , 這三句話的邏輯式 $(1.c)$ , $(2.c)$ , $(3.c)$ 分別輸入到LogicParser, 如下：

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>>> a1 = lgp.parse('exists e ( butter(John,toast,e))') >>> a2 = lgp.parse('exists e ( butter(John,toast,e) & instr(e,knife) )') >>> a3 = lgp.parse('exists e (butter(John,toast,e) & instr(e,knife) & in (e,bathroom) & at(e,midnight) )')

接著來看看句子 $(1.a)$ 和 $(2.a)$ 的蘊含關係

用 Prover9() 來證明, 我們把未知值的句子放在第一個argument , 已知為真的句子放在第二個argument中

例如, 想要證明當 $(2.a)$ 為真時, $(1.a)$ 是否為真, 輸入方法如下：

1 2	>>> Prover9().prove(a1, [a2]) True

結果顯示, 當 $(2.a)$ 為真, $(1.a)$ 必為真, 表示 $(2.a)$ 蘊含 $(1.a)$

把 $(2.a)$ 和 $(1.a)$ 對調

1 2	>>> Prover9().prove(a2, [a1]) False

結果顯示, $(1.a)$ 蘊含 $(2.a)$ 不成立

然後來看看 $(3.a)$ 和 $(2.a)$ 以及 $(1.a)$ 的蘊含關係

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>>> Prover9().prove(a2, [a3]) True >>> Prover9().prove(a1, [a3]) True

結果顯示, $(3.a)$ 蘊含 $(2.a)$ 也蘊含 $(1.a)$

4. Reference

本文參考至以下這本語意學書籍

Semantics: An International Handbook of Natural Language Meaning